Là gì

Đạo Hàm Dy/ Dx Là Gì – Bảng Công Thức Tính Tích Phân Thường Gặp

Bài này mình xin được giảng giải thực chất của 3 khái niệm quan trọng hàng đầu trong đại số giải tích là đạo hàm, tích phân và vi phân để chỉ ra chúng có ý nghĩa như thế nào.Bạn đang xem: Dy/dx là gì

Bài viết này sẽ ko đi sâu vào chứng minh công thức, khái niệm nhưng mà chỉ tập trung vào nói rõ thực chất của đạo hàm, tích phân và vi phân.

Đang xem:

  • Dx là gì
  • Công thức tính nhanh đạo hàm của một số hàm số thường gặp

Nếu bạn đã từng có một thời dữ dội cày đề đại học ngày xưa thì chắc ko thể quên được bài toán nhan đề là khảo sát hàm số, tính tiếp tuyến đồ thị, bài toán tính đạo hàm hay tích phân. Lúc đó chúng ta chỉ cắm cúi vào cày đề chứ cũng ít người nào quan tâm tới thực chất nó là cái gì, nó để làm gì và ko hiểu vì sao nó lại có được công thức ngùng ngoằng như thế.

Thực ra nếu bạn hiểu tiếng hán của 3 từ đạo hàm, tích phân và vi phân thì bạn sẽ mường tượng được ý nghĩa của nó.

Mình xin đi vào từng mục.

Xét hàm số y = f(x) thì:

Đạo hàm

Đạo (tiếng hán導)tức là hướng dẫn, lãnh đạo, nó cũng nằm trong các từ: đạo diễn, lãnh đạo, lãnh đạo,…

Hàm (tiếng hán函)tức là bao hàm, cái để chứa vào, từ hàm này cũng chính là từ hàm trong từ hàm số.

Gộp 2 từ lại bạn sẽ hiểu nó là một nơi chứa sự lãnh đạo, tức là thứ lãnh đạo sự biến thiên của hàm số f(x) là sẽ tăng hay giảm và tăng hay giảm nhanh hay chậm.

Lúc nói đến tới “đạo hàm” thì chúng ta mặc định đang nói về đạo hàm cấp 1, còn nếu muốn chỉ rõ là đạo hàm cấp lớn hơn 1 thì nói rõ ra nó là cấp mấy, ví dụ đạo hàm cấp 2, cấp 3,…

Đạo hàm của f(x) là một thứ (ký hiệu là f’(x)) nhằm mô tả sự biến thiên tức thời của hàm f(x) tại một điểm x xác định nào đó.Trị giá của đạo hàm tại x0 chính làgiá trị của độ dốc (hay hệ số góc) của đường tiếp tuyến với hàm số f(x) tại x0(xem phần độ dốc phía dưới).

Nếu tại điểm x0giá trịhàm số đang tăng thì f”(x0) > 0, đang giảm thì f”(x0) Nếu tại điểm x0 nhưng mà |f”(x0)| lớn thì hàm số đang tăng (hoặc giảm) nhanh, còn nếu |f”(x0)| nhỏ thì hàm số đang tăng (hoặc giảm) chậm.

Qua đó ta biết được ứng dụng chủ yếu của đạo hàm là cho biết được sự phụ thuộc của 2 hay nhiều đại lượng, như ở ví dụ trên thìxtăng thì ytăng hay giảm và tăng hay giảm nhanh hay chậm? Ứng dụng này rất quan trọng trong rất nhiều lĩnh vực đời sống vì ta ko cần khảo sát, đo đạc thực tiễn để kiểm chứng điều này nhưng mà chỉ cần ứng dụng đạo hàm vào để tính.

 

Làm sao để mô tả được sự biến thiên tức thời của y = f(x) tại x0?

Như bạn đã biết, ví dụ dễ hiểu nhất và chuẩn xác nhất cho sự biến thiên tức thời này chính là véc tơ vận tốc tức thời của một chất điểm chuyển động, nó được tính bằng quãng đường tức thời (trị giá tính theo f(x)) chia cho thời kì tức thời (trị giá tính theo x) đi được quãng đường tức thời đó.

Sự biến thiên tức thời tại điểm x0 này chính là sự biến thiên của f(x) lúc x dịch chuyển một đoạn hết sức nhỏ từ x0 tới x1, hiệux1 – x0 = ∆x = dxnhỏ tới mức gần như bằng 0 (ko thể tuyệt đối bằng 0 được vì nếu thế sẽ là ko dịch chuyển, nhưng mà ko dịch chuyển thì ko thể có khái niệm độ biến thiên tức thời được).

Tức là đạo hàm của y tại x0y” = f”(x) =f(x1) – f(x0)x1 – x0khi∆x tiến dần tới 0.

y” = f”(x) =lim∆x→0f(x0 + ∆x) – f(x0)∆x = dydx

Về mặt hình học, đạo hàm tại x0 của f(x) chính là hệ số góc (hay độ dốc) của đường thẳng tiếp tuyến với hàm số y = f(x) tại điểm x0 (chứng minh thì bạn tham khảo thêm ở http://math2it.com/tai-sao-tiep-tuyen-cua-o-thi-ham-so-lai/).

Nếu hàm số f(x) có đường thẳng tiếp tuyến tại x0 thì mới có đạo hàm tại x0, trái lại sẽ ko có đạo hàm tại x0.

Công thức đạo hàm: y’ = f’(x) = dydx

Độ dốc

Độ dốc (hay hệ số góc) cho biết được hàm số tại điểm xác định đang tăng (hay giảm) một cách nhay hay chậm.

Độ dốc của một đường thẳng trên một mặt phẳng được khái niệm là tỉ lệ giữa sự thay đổi ở tọa độ y chia cho sự thay đổi ở tọa độ x: m = ∆y∆x = tan(θ)

 

 

Độ dốc của tiếp tuyến của hàm số f(x) tại x0 được tính bằng cách tính đạo hàm tại x0 như đã nói ở trên.

Xem thêm: Cách Nấu Cháo Thịt Heo Ngon Bổ Dưỡng, Cách Nấu Cháo Thịt Bằm Thơm Ngon Bổ Dưỡng

Vì sao lại đặt tên là độ dốc?

Vì lúc nó càng dốc thì hàm số thay đổi càng nhanh và trái lại.

Đạo hàm cấp 2

Đạo hàm cấp 2 tại một điểm x0 trên đồ thị f(x) cho biết là đường cong của f(x) tại điểm x0 đó đang “cong” hướng lên trên hay xuống dưới. Điều này có ý nghĩa trong việc tìm trị giá nhỏ nhất hay lớn nhất của đồ thị.

 

Phía trên ta đã biết có thể tính được chóp của đồ thị bằng cách cho đạo hàm cấp 1 bằng 0 (vì đồ thị đổi chiều lúc f”(x) = 0) nhưng ta ko biết được là nó đang đổi chiều từ đi xuống sang đi lên hay từ đi lên sang đi xuống.

Nếu đồ thị f(x) đang đổi từ đi xuống sang đi lên tức là đường cong của đồ thị tại chóp đang “cong” hướng lên và trị giá tại chópchính là trị giá nhỏ nhất.Trái lại, nếu đồ thị f(x) đang đổi từ đi lên sang đi xuống tức là đường cong của đồ thị tại chóp đang “cong” hướng xuống và trị giá tại chópchính là trị giá lớn nhất.

Để nhận mặt đồ thị đang “cong” hướng lên hay xuống tại điểm x0thì ta chỉ cần tính đạo hàm cấp 2tại x0là được:

Nếu f””(x0) > 0 thì đồ thị đang “cong” hướng lên, và nếu f(x) có chóp tại x0thì f(x) có trị giá nhỏ nhất tại x0.Trái lại, nếu f””(x0)

 

 

Công thức đạo hàm cấp 2:y”” = f””(x) = dydx” = d2ydx2

Nguyên hàm

Phần nguyên hàm mình cho vào phần con của đạo hàm vì nguyên hàm được khái niệm từ đạo hàm, trái lại của tìm đạo hàm là tìm nguyên hàm.

Từ f(x) nếu ta tìm được hàm số F(x) sao cho F’(x) = f(x) thì F(x) được gọi là nguyên hàm của hàm số f(x).

Có vô số hàm số F(x) tương tự vì đạo hàm của hằng số bằng 0, do đó họ các nguyên hàm của f(x) sẽ có dạng là F(x) = biểu thức phụ thuộc vào x + hằng số C

Ví dụf(x) = x2thìF(x) = x33 + C

Vi phân

Chữ vi (tiếng hán微)tức là nhỏ (như vi khuẩn, vi sinh vật, tinh xảo).

Chữ phân (tiếng hán分, cũng đọc là phần)tức là từng phần (như phân nửa, phân chia, phân phát).

Vi phân tức là từng phần rất nhỏ, vận dụng vào hàm số là lúc chia một hàm số ra từng phần rất nhỏ.

Vi phân là hiệu trị giá của hàm số y tại mỗi đoạn nhỏdx = ∆x = x1 – x0, ví dụ x chạy một đoạn rất nhỏ từ x0 tới x1 thì vi phân (đoạn nhỏ của y) cũng chính là trị giá biến thiên tức thời f’(x) nhân với khoảng thông số biến thiên (hiểu đơn giản nó chính là quãng đường thay đổi tức thời = véc tơ vận tốc tức thời biến thiên tức thời x thời kì tức thời trong vòng biến thiên đó).

Vi phân của hàm số y = f(x) ký hiệu là dy hay df(x)

 

Công thức vi phân: dy = df(x) = f(x1) – f(x0) = f’(x)dx = y’dx

Tương tự xét về mặt công thức thì vi phân của hàm tại x0 = đạo hàm của hàm tại x0 nhân với sự thay đổi rất nhỏ của x sát với x0 (là dx).

Nhưng xét về mặt ý nghĩa thì đạo hàm và vi phân ko có quan hệ gì với nhau hết. Đạo hàm dựa vào tỉ số dy/dx để ám chỉ sự chuyển đổi tức thời, còn vi phân dựa vào y’dx để lấy từng phần rất nhỏ trên hàm số y = f(x).

Tích phân

Chữ tích (tiếng hán積)tức là chồng chất, chất đống lên nhau (như tích góp, tích lũy).

Chữ phân (tiếng hán分)đã nói ở trên.

=> Tích phân là tổng của nhiều phần nhỏ.

Và mỗi phần nhỏ này là tích của dxf(x).

Tới đây ta có thể nhìn thấy tích phânvi phân mang ý nghĩa trái ngược nhau, một thằng là tính tổng các phần nhỏ còn một thằng là tách thành các phần nhỏ. Nó chỉ ngược nhau về mặt ý nghĩa chứ ko phải ngược nhau về nội dung công thức, vì công thức của vi phân là f’(x)dx còn của tích phân là tổng của các phần nhỏ f(x)dx.

Vì có cách tính tương tự nên tích phân xác định lúc x chạy từ a tới b cũng chính là diện tích của hình tạo bởi đồ thị hàm số f(x) và các đường thẳng x = a, x = b (Chứng minh cho điều này thì bạn xem lại sách giải tích).

Xem thêm: Acid Uric Là Gì – Xét Nghiệm Acid Uric

 

 

Công thức tích phân:∫abf(x)dxTa đã để cập tới được mối quan hệ của đạo hàm và vi phân, của vi phân và tích phân rồi, thế còn mối quan hệ của đạo hàm và tích phân là gì?

Quan sát công thức và về mặt ý nghĩa rõ ràng ta ko thấy có mối quan hệ nào giữa đạo hàm và tích phân, nhưng từ đạo hàm ta lại có thể tính được tích phân, đó chính là nội dung của công thức Newton-Leibniz:

Giả sử muốn tính tích phân của hàm số f(x) lúc x chạy từ a tới bthì:

Công thức Newton-Leibniz: S =∫abf(x)dx = g(b) – g(a) với g(x) là nguyên hàm của f(x)

Vậy để tính tích phân xác địnhcủa một hàm số, nếu ta xác định được nguyên hàm của nó (nguyên hàm là thứ trái lại của đạo hàm => mối quan hệ của đạo hàm và tích phân chính là thông qua nguyên hàm) thì ta sẽ dễ dàng tính được ngay.

Kết luận

Ta rút ra được mối quan hệ của đạo hàm, tích phân và vi phân như sau:

Bạn thấy bài viết Đạo Hàm Dy/ Dx Là Gì – Bảng Công Thức Tính Tích Phân Thường Gặp có khắc phục đươc vấn đề bạn tìm hiểu ko?, nếu  ko hãy comment góp ý thêm về Đạo Hàm Dy/ Dx Là Gì – Bảng Công Thức Tính Tích Phân Thường Gặp bên dưới để yt2byt.edu.vn có thể thay đổi & cải thiện nội dung tốt hơn cho độc giả nhé! Cám ơn bạn đã ghé thăm Website Trường Cao đẳng Kỹ thuật Y tế II

Phân mục: Hỏi đáp

Nguồn: yt2byt.edu.vn

Related Articles

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *

Back to top button